庞加莱猜想应该怎么解释？
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首先看看庞加莱猜想是什么：一个三维的有界无边的几何体（严格数学术语：3维闭流形），如果没有“洞”（严格数学术语：单连通），那么它就是（同胚，由于3维的时候拓扑结构和光滑结构等价，所以也是微分同胚）一个3维球面。
Perelmann的证明（通俗语言版）：把这个3维流形想象成一个气球，然后他用一种特别的吹气球的方式（Ricci flow）, 把这个气球吹成了一个真正的圆球。但是吹的过程中，气球可能会粘在一起（出现奇点），他就要通过特别的方式来把粘在一起的部分分开（用surgery theory处理奇点）。
需要提一下的是：用Ricci flow解决庞加莱猜想的思想，最早是Hamilton提出来的，而且他本人已经做出了部分结果。Perelmann的主要贡献是，解决了一些技术性难点，处理了几类Hamilton自己不能处理的奇点，最终得到了完整证明，而且他实际上证明了比庞加莱猜想更广的结果——Thurston的几何化猜想，某种意义上对所有的3维闭流形进行了分类。所以这项工作是很多数学家的集体工作，我不否认Perelmann的重大贡献，但是基本的事实还是要说明清楚的。
延伸阅读
卡拉比猜想和庞加莱猜想？
卡拉比猜想源于代数几何，是由意大利著名几何学家卡拉比在1954年国际数学家大会上提出的：在封闭的空间，有无可能存在没有物质分布的引力场。这个猜想的陈类为负和零的情况被美籍华人数学家丘成桐证明。
庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。其也称为克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里佩雷尔曼于2003年证明的。
庞加莱猜想通俗解释？
一般来说，庞加莱定理即庞加莱回归定理：在有限体积下的力学体系在足够长时间后总可以回复到初始状态附近。
作为一个物理定理，庞加莱回归定理仿佛预示着历史的重演。也就是说，历史上发生过的事情，在足够长的时间以后，都会几乎一样的发生。当然，这只是我们的设想。
庞加莱回归定理还有量子力学版本：有限粒子数的量子体系，在足够长时间以后，回归到初始状态附近。
