网友提问：
复数的本质是什么？
优质回答：
（小石头来尝试着回答这个问题）
复数出现的原因，大家都知道，是为了让方程：
有解。
为了达成这个目的，我们需要寻找一个新的数字 i，使得 i2 = -1 ①，并且 i 还可以参与四则运算（加、减、乘、除）。
显然，这个 i 不是一维直线（记为 ?）中的任意实数，于是 将眼光 投入 二维平面（记为 ?2）中的某个向量 a = (x， y)。
为了让 a 看起来像是一个数字，从而可以作为 i 的候选者，我们需要让 向量 具有类似数字的四则运算的能力。
在《解析几何》中，已经定义有向量的加法（设，b =(u， v) ∈ ?2），
a + b = (x + u， y + v)
然后，利用 向量的数乘（设，λ ∈ ?)，
λa = (λx， λy)
可以定义 a 的负数，
-a = (-1)a
而减正就是加负，
a – b = a + (-b)
关于向量的乘法，在《解析几何》中 定义有，
点乘（内积）：a?b = xu + yv
叉乘（外积）：a×b = (xv – uy) k （k 是 垂直于 平面 ?2 的 单位法向量）
观察 实数 ? 中的乘法，有 a，b ∈ ? ? ab ∈ ?，这称为运算的封闭性。
而，显然 点乘（结果是实数 ∈ ?） 和 叉乘 （结果是三维向量 ∈ ?3） 都不具有 封闭性，不能当做向量乘法！
不过，我们可以结合 点乘 和 叉乘，尝试定义向量乘法：
ab = (a?b， a×b?k) = (xu + yv， xv – uy) ②
这个定义具有封闭性，如果，还能在该定义下，找到 满足要求 ① 的 向量 i，那么我们就可以正式采用这个定义了。
我们不妨将 平面中的 X轴 设为 ?，这样 任意 实数 a 就对应 向量 (a， 0)，即，
a = (a， 0)
其中，
-1 = (-1， 0)
另一方面，因为 i 不属于 X轴，所以 可以考虑 让 i 属于 Y轴，于是 i 与 Y轴 中的 某个点 (0， b) 对应，即，
i = (0， b)
使用 乘法定义②，再结合对于 i 的要求 ①，有，
i2 = ii = (0， b)(0， b) = (00 + bb， 0b – b0) = (b2， 0) = (-1， 0) = -1
显然，还是因为 b2 ≠ -1，使得 在 ② 下 没有满足 ① 的 b，于是，我们需要对 定义 ② 进行改进。其实，我们仅仅需要交换 ② 中的 加减号位置，即，
ab = (xu – yv， xv + uy)
就可以，得到：
i2 = (00 – bb， 0b + b0) = (-b2， 0) = (-1， 0) = -1
这时，由 -b2 = -1 ，解的 b = ±1，OK！
不妨设 i = (0， 1) ，于是 我们找到了满足 ① 的 i，这说明，调整后的定义有效，我们把它作为乘法的定义！
若，令 ā = (x， -y) 则，乘法定义为：
ab = (xu – yv， xv + uy) = (xu + (-y)v， xv – u(-y)) = (ā?b， ā×b?k) ②’
这里 ā 和 a 关于 X 轴对称，称 ā 为 a 的共轭。
注：很容易 从 共轭 得到 a 关于 Y轴的 对称 (-x， y) = -(x， -y) = – ā 。
有了乘法定义，我们就可以定义除为乘以倒数，即：
a/b = ab?1
倒数 a?1 具有性质：
aa?1 = 1
而，
aā = (x2 + y2， xy – yx) = (x2 + y2， 0) = x2 + y2 = a?a
可见，
a?1 = ā/(a?a)
到这里，?2 中的 向量 就具有了 四则运算能力，可以当做数字，称为 复数，同时，将 ?2 记为 ?，称为复平面，X 轴依然称为实轴，其中的点 就是 实数，而把 Y 轴称为 虚轴，其中的点 称为 虚数。
在数学上，?2 也称为欧氏（向量）空间，其中向量本来就具有 加减运算，而 除法是乘法的逆运算，因此，以上 让其 变为 ? 的 主要工作是定义乘法，故，我们有，
小结论： 复数的本质就是定义了乘法的欧氏空间 ?2 中的向量。
对于 ? 中的任意 复数 z = (x， y)，利用前面推导的结论，有，
z = (x， y) = (x + 0， 0 + y) = (x， 0) + (0， y) = (x， 0) + (y0， y1) = (x， 0) + y(0， 1) = x + yi
这就是，我们熟悉的 复数一般表示，i 称为 虚单位。其中，x 和 y 分别称为 复数 z 的 实部 和 虚部，有，
x = Re(z) = (z + ?)/2
y = Im(z) = (z – ?)/(2i)
注：其实，1 = (1， 0) 和 i = (0， 1) 是 ? = ?2 的一组标准正交基，任何 一个 复数 z = (x， y) 都可以线性表示为：
z = x1 + yi = x + iy
这说明，复数一般表示，就是向量的线性表示。
将 复数 z 对应 向量 的长度 称为 复数 的 模，记为 |z| = √(z?z) = √(x2 + y2) ，将 向量 和 X 轴正方向 的 夹角，称为 辐角，记为 Arg(z)。
若，令，r = |z|， θ = Arg(z) ，则 z 为：
z = r(cos θ， sin θ)= r(cos θ + i sin θ) ③
这就是 复数的 三角表示。
又设， w = s(cos φ + i sin φ) 则，根据《三角学》知识 有，
zw = (r(cos θ + i sin θ) )(s(cos φ + i sin φ) ) = (rs)(cos θ cos φ – sin θ cos φ， i(cos θ sin φ + sin θ cos φ) = (rs)(cos( θ+φ) + isin(θ+φ))
可见，复数乘法的 几何意义是 ④：模相乘，辐角相加。
另一方面，根据《高等数学》迈克劳林公式：
有，
进而，得到 欧拉公式：
再和 ③ 处连等，有，
这就是 复数的 指数表示。
验证，乘法：
依然符合 结论 ④。
于是，我们得到 结论：
复数的本质就是 欧氏空间 ?2 中的向量，定义了，模相乘辐角相加，的乘法 从而 升级而成的数字。
复平面 ? 本质就是 欧氏空间 ?2 中定义了 乘法运算， 实单位 1 = (1， 0) 和 虚数单位 i = (0， 1) 本质是 ? 的 标准正交基，复数 z = x + yi 本质就是 向量的线性表示。
最后，回到开头，复数的出现，使得：
（一元）多项式方程，必然存在 一个复根
这就是 代数基本定理。
（这是一个开放性问题，不同的人对复数的本质有不同的理解，数学家会给出非常深奥的答案，而小石头只能在数学的浅滩潦草的勾勒一些浮沙，大家见笑了！各位聪明的条有大家有什么高见呢？）
注：更深奥的答案是存在的，比如，
称 ? 为复数域，它是 实数域 ? 的 扩域，是 一个代数闭域。
其他网友回答
复数是指能写成如下形式的数a+bi，这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。想理解复数的本质的从为什么出现复数谈起：
所有的数的诞生都是和人们生产生活需要分不开的，复数也不例外。数的分类见下图
当人类在实数范围内不能解决所有问题的时候，就只能超越实数范围去寻找答案，复数就诞生了。
例：把8分成两部分，使它们的乘积等于20时。
这个问题在实数范围内就是个无解的答案。但是要在复数范围内就可以把8分成这两个部分：
4+√-2和4-√-2两个部分，（4+√-2）+（4-√-2）=8 （4+√-2）×（4-√-2）=20。
同理√-2在实数范围内也没有意义，那么就诞生了虚数：i2 = – 1 那么√-2=-2i。
复数的实际意义：首先，我们建立一复数坐标，横轴单位为实数1，纵轴单位为虚数i。(1+i)×i的意义是什么呢？如下图:(1+i)×i=-1+i 从下图可见×i的实际意义就是把一根直线，逆时针旋转九十度，但是长度不变（乘以其他复数还可以使长度改变）。
所以复数的实际意义之一：就是旋转。当然还有更多的实际意义，比如物理上的实际意义就不在这里赘述，更多更好玩的黑科技敬请关注头条号——时间隧道5
其他网友回答
浏览了一下，前面的各位说得都很好，有的是从数学史角度，有的是从高等数学视角，还有一位从古典哲学角度说实部虚部就是阴阳。我来补充一下。
对小学数学来说，复数就是二元有序数组。
对初中数学来说，复数是不存在的数。复数是负数开方的结果，一元二次方程无解的时候不存在的根。
对科幻来说，复数是平行宇宙的复合。
对高中数学来说，复数是数域的进一步扩大。复数是高考数学小题中的保留节目。
对奥数来说，复数是二试平面几何证明题的一个解题方法，尤其适用于旋转或规则图形有关题目。
对物理来说，复数是电磁学中解决交流电等问题时代替三角函数的一种表述方式。
对一般人来说，负数是正数旋转180度，复数是旋转90度。
对哲学来说，复数是中国古典哲学中的阴阳，也是马克思主义哲学或高中政治选修四哲学科目中的物质与意识。物质决定意识，意识具有能动性。
其他网友回答
一个负数的平方根。这就是虚数，一个实数和一个虚数在一起的表达就叫复数，一个根本不存在的数，只适用于运算的过程。
其他网友回答
复数即平面上的点，这够明白了吗？引进xy直角坐标后，平面上的点可表成(x，y)。y轴上点(0，1)记为i这样平面点即复数(x，y)又可记为x十iy。这样复数已全部入。接下来定义四则及乘方开方运算，三角表示，你就可用复数来做各种事了。不要看得太神秘，简单如象棋，引进了一些棋子，规定各棋子的走法吃法，两人便可对奕了。
以上就是小编关于【复数的本质是什么？】的分享，希望对你有用。
