网友提问：
质数的定义是什么？或者怎样理解质数？
优质回答：
质数，在《数论》上习惯称为素数（也叫做，不可约数），是一类特殊的整数。
素数被定义为：
只能被 1 和 自身整除的 正整数，但 1 除外。
（由于整数关于 0 对称，于是只要将正整数部分的研究清楚了，负整数也就清楚了，因此一般不讲负素数。）
数学家发现，任何一个正整数（1 除外），都可以唯一的表示为有限个素数的乘积，每个素数称为该整数的素因子，整个乘积称为该整数的素因子分解。例如：
6 = 2×3
当然，素因子可以重复，例如：
12 = 2 × 2 × 3
因为 如果 1 也是素数，则：
6 = 2×3 = 1×2×3 = 1 × 1 ×2×3 = …
于是，为了，素因子分解结果唯一，我们不得不让 1 排除在 素数 之外。
素数可以理解为：乘法运算中不可再分解的数，而加法中不可再分解的数只有1。我们可以通过1不断相加得到所有正整数，同样我们可以通过素数相互不断相乘得到所有正整数（1除外）。
从正整数中找到素数是首要的问题！可以直接根据定义，一个个数判断，但这样太慢，数学家一般使用从正整数中排除不是素数的数（称为合数，1除外）的办法，称为筛选法。
如果，正整数 a > 1 的 素因子分解 为：
a = p? × p? × … × p?
则，一定存在一个素因子 p ∈ {p?， p?， … p? } 使得 p ≤ ?√a。
这个很显然！如果，每个p? > ?√a，则 p? × p? × … × p? >( ?√a)? = a，矛盾。
而我们知道，素数在做素因子分解时，只有一个因子，即它自己，例如：
3 = 3
而合数 最少 两个，例如：
6 = 2×3
于是 合数 a 必然存在 素因子 p ≤ √a。
于是，我们需要找出 N 内的 素数，只需要 找到 √N 内的素数，然后 用这些 素数 去判断 √N 到 N 之间的 正整数 是否是 合数，将是合数的删掉，剩下的就是 素数。这称为 Eratoschenes（埃拉托斯特尼） 筛选法。实例如下：
我们先找到 10 以内的 素数：2，3，5，7；然后 对 10 到 102 = 100 进行筛选：
用 2 筛掉：11， 12， … ， 99， 100；
用 3 筛掉：11， 13， 15， 17， … ， 97， 99；
用 5 筛掉：11， 13， 17， 19， 23， 25， 29， 35， …， 95， 97；
用 7 筛掉：11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 41， 43， 47， 49， …， 91， 97；
于是得到：11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 41， 43， 47， 53， 59， 61， 67， 71， 73， 79， 83， 89， 97；有了 100 以内 的素数，然后，对 100 到 1002 = 10000 进行筛选 …
（其实，在具体用 p 进行筛选时，只需要从 p2 开始筛选就可以了，因为 小于 p2 的数，如果具有 p 因子，则 一定具有 小于 p 的素因子，这已经被之前的小于 p 的素因子筛掉了。）
（头条里多位老师也给出了自己的筛选法，大家可以参考借鉴！）
那么，我们使用 筛选法是否可以将 素数 筛完呢？答案是不可能，因为：
素数有无穷多个。
这是一个著名定理，证明如下：
假设，素数有限，记为 p?， p?， …， p? 。现在，令 a = p? × p? × … × p? + 1，显然 a 不是任意 一个 素数，且 大于 2， 于是 a 必然是合数，于是存在 素数 p? | a （| 表示 整除）。而 p? 是 p?， p?， …， p? 中的一员，于是 p? | p? × p? × … × p?，进而 p? | (a – p? × p? × … × p?) ，即 p? | 1，于是 p? = 1，而 p? 是素数 必然 p? > 1，矛盾。
将素数从 小到大排列，记为，
p? = 2， p? = 3， p? = 5， …
数学家发现：
p? ≤ 2^{2??1}
因为：
上面那个定理的证明过程，还说明，在 p? 到 a = p? × p? × … × p? + 1 之间必然有 一个 素数 p???，即，p??? ≤ p? × p? × … × p? + 1，利用这个结果，进行如下证明：● 当 r = 1 时，显然 p? = 2 ≤ 2^{21?1} = 21 = 2，定理成立；● 如果 当 r ≤ i 时，命题成立，即，p? ≤ 2^{2?}， p? ≤ 2^{21}， …， p? ≤ 2^{2??1}，则 当 r = i + 1 时，根据 前面的 不等式，有：p??? ≤ p? × p? × … × p? + 1 ≤ 2^{2?} × 2^{21} × … ×2^{2??1} + 1 = 2^{2? + 21 + … + 2??1} + 1 = 2^{2? – 1} + 1 ≤ 2^{2? – 1} + 2^{2? – 1} = 2 × 2^{2? – 1} = 2^{2?}；归纳得证。
如果，将不超过 x 的 素数个数，记为 π(x)，则上面的命题等价于：
π(x) > log?(log?x)
因为：
对于任意 x ≥ 2 ，显然有 唯一正整数 r 使得：2^{2??1} ≤ x < 2^{2?}，● 由上面的左边不等式得到：π(2^{2??1}) ≤ π(x) ，而前面已经证明了 p? ≤ 2^{2??1}，而 到 p? 的素数 当然是 r 个 所以：r ≤ π(2^{2??1})，于是，最终有：r ≤ π(x)，● 由上面的右边不等式得到：log?(log?x) < r，综上可到：log?(log?x) < π(x)。
素数的定义虽然很简单，但是确意想不到的麻烦！数学家至今依然没有找到素数在正整数中的准确分布规律。
（杨老师<@杨式素数>，在这方面很有研究，大家有兴趣可以去他那里请教。）
（黎曼猜想有助于解决素数分布问题！）
（退而求其次，数学家还发明的 伪素数的概念：
如果 n | 2? – 2，称 n 为 伪素数，如果 对于任意 整数 a 都有 n | a? – a 称 n 为 绝对伪素数。
关于，伪素数分布 也是一个研究方向。）
除了 2 其它素数都是 奇数，2 是最小的素数，3 是最小的奇数素数。
两个相邻的奇数如果都是素数称为孪生素数，例如：3 和 5，5 和 7 ， 11 和 13， …。
三个相邻奇数是素数的情况，只能是： 3，5，7 这一种情况，因为：
假设，相邻三个相邻奇数，a， b， c > 3 都是素数，其中 b = a + 2，c = a + 4。由于 a 是素数，因此 3 ? a（? 表示 不能整除）于是 a = 3n + 1 或 3n + 2。● 当 a = 3n + 1 时，b = a + 2 = 3n + 1 + 2 = 3n + 3 = 3(n+1)，显然 3 | b，故 b 不是素数，矛盾；● 当 a = 3n + 2 时，c = a + 4 = 3n + 2 + 4 = 3n + 6 = 3(n + 2)，显然 3 | c，故 c 不是素数，矛盾；
以上证明，也说明了三个以上相邻的奇数是素数不可能。
于是，研究特殊的 孪生素数 就有了价值。但是 比 素数 还不争气，数学家连孪生素数是否有无穷多个都没办法证明。
（数学家 张益唐 在这方面取得了 巨大突破！）
最后，和素数相关的一个概念是 两个整数 a， b 互素，即 a， b 之间 a ? b 并且 b ? a，两个素数一定互素，例如：
3， 5
但两个 合数 也可以 互素，例如：
9， 25
互素在代数里也同样至关重要。
(小石头对于《数论》是门外汉，头条里作这方面研究的大神众多！小石头在这里纯粹是班门弄斧，欢迎各位老师莅临指导！）
其他网友观点
一般定义为，除1和本身外没有其它的因数的整数。
若P为质数，(2^P-2)丨P。
其他网友观点
当前质数的定义与其说是定义不如说是质数性质的一种表现的描述。
本人认为，质数的定义:构成大于1的自然数的基本单元。
以上质数的定义的依据是质因式分解的性质。质因式分解的深刻性质是任何合数都可以唯一分解成相应质数的乘积，这种唯一性是客观世界中美丽的确定性，即可认知性和对应性，也就是说我们可以通过一个合数而得出相应乘积的质数，也可以通过相应的质数而唯一对应得出其乘积的值，这种可逆性具有完美的对称性。对于以上质数的定义，我认为是科学的且深刻的，对于我们对质数的认识和其分布规律的理解应该不会有帮助的，因为我已经有了一些发现，而且对于哥德巴赫猜想的认识也是有帮助的，哥德巴赫猜想其本质就是个对于质数分布规律的问题的延伸，当你真正理解哥德巴赫猜想时，你会发现哥德巴赫猜想的关键并不是你用什么数学方法去解决它(因为我可以肯定的告诉你，任何数学方法，无论其已知还是未知，都解决不了歌德巴赫猜想)，而是你如何去理解质数、自然数、偶数间的关系和如何去定义质数、自然数、偶数、奇数，这是涉及到基本数学思想的问题，属于哲学问题和认识问题，是一个逻辑问题而不是关于数学技巧方面的问题。
所以我们可以明确的说，当我们科学(接近自然本质)的定义了质数、自然数、偶数、奇数时歌德巴赫猜想和素数的分布规律我们会自然的解决，我可以肯定，到那时我们对于哥德巴赫猜想会得这样的结论:
1、所有两个质数的和的集合等于大于2的偶数的集合。
或
2、歌德巴赫猜想和素数的分布规律其本身就是一个伪命题。
具体是如何，那要看我们是如何去定义的。本人对此保持客观态度，因为当我们的认知足够深时，无论我们是如何定义各种数的集合(任何数的类型都可以看做是相应的数的集合，比如:自然数、奇数、偶数、有理数、无理数、实数等)，都是合理的，因为各种数类型的定义只是为了更方便我们去认识、理解、研究客观世界的规律，但并不会改变客观世界的规律，所以无论我们如何定义其实只有优劣之分而无对错之分，但是当两种数类型的定义不相关而又有数值上的联系时，我们必须知道这两种数的类型在本质上是没有联系的，如果要将其联系起来，那么我们必须改变这两种数类型的定义或其中一种数类型的定义，否则在逻辑上这两种数就是无关的，我们永远也不可能通过一定的数学手段将这两种数的类型联系起来，其表现形式为我们不可能找到两种不同类型的数之间的数学规律，比如我们当前定义的质数与偶数，所以我可以肯定的说以当前我们所定义的质数与偶数为基础，哥德巴赫猜想本身就是个伪命题，如果我们不从根本上改变我们的思路，那么无论如何证明都是没有结果的，因为其存在逻辑上的问题，所以这个问题本身就是不成立的，因为一个本身就具有逻辑错误的问题是没有答案的，以及素数的分布规律的问题也歌德巴赫猜想一样是个伪命题，因为当前我们质数的定义是无法解决这种问题的，因为当前我们质数的定义是一种非常不明确的定义，而我认为我对于质数的定义应该是相对明确的，而以我所定义的质数为基础，我们可以知道，既然质数是构成大于1的自然数的基本单元，那么我们如何用大于1的自然数来表示其基本组成单元，这本身就存在逻辑问题，因为我们可以用质数间的规律来描述大于1的自然数的变化规律，但是不能用大于1的自然数间的规律来描述质数的变化规律，不然其中的因果关系就错了，所以质数不存在分布规律的概念，因为质数只是相应的数的集合，其他的数的类型也是一样的，所以像自然数、偶数、奇数等的分布规律，其本身就是不存在的，因为任何数的类型都是我们可以确定某些相应的数的集合，如果有相应的数学公式可以描述某种数的类型的变化，那么这必然是一种巧合，而且还是我们所定义的巧合，因为在逻辑上，真正科学的定义应该是定义的所有组成部分都是确定可知的，而不是模糊不确定的。
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