5的平方根，5的平方根是多少？
解方程的理论，发展到伽罗瓦这里，历经两百五十多年的难题才被彻底解决，不但这个难题被解决，群论这一伟大的工具也逐渐在数学乃至各个领域内普及开来，群论也成为近代数学的一个坚实的基础。
旷世天才 伽罗瓦
写这篇文章之前，我咨询过不少专业数学界的人士，他们有的是重点高校的数学系研究生，当我问到他们对于群论的看法，他们无一不对群论保持着深深的敬畏，这是一门伟大的学问，也是一门太艰深的理论。当我又试探性地问到他们对于群论了解多少时，他们的反应又出奇一致，他们的回答是仅仅是知道而已，因为要想深入了解群论，你必须做好各种各样的理论储备。线性空间，线性变换，欧几里得空间，酉空间，辛空间等，要对抽象代数有一定的了解才可以窥探其一点点的精义。对于我这样一个不是数学系出身的人，去详细完整地描述群论自然就是一个不可能完成的任务了。于是，我决定简单介绍一下五次方程没有根式解的解决路线。
先来看一下二次方程的根式解公式有什么特点。
二次方程根式解法
有人说，用这个公式太麻烦了，有些二次方程明明就可以通过因式分解的方式来搞定的。说的不错，但是也仅限于一些根式有理数的情况，那要是这样的二次方程呢？
恐怕就不是那么显而易见了吧。我们也能看出来，如果根是有理数，那么我们只要通过对系数的加减乘除就可以得到最后的答案，如果根是无理数，显然只做加减乘除的话，就达不到目的了。因为公式里的那个大大的根号，一不小心就会产生一个二次开方后的无理数。因此，我们必须对根式的范围，也叫域，进行扩充，我们把二次开方之后的无理数加进去，有的人说，那万一这个判别式小于0怎么办？那不是没有解了么，说的很对，我们最后还要加一个虚数单位i才行，只有这样，在任何情况下，二次方程都是有解的。
三次方程根式解法
那么再看三次方程的根，如果还执迷于二次开方的无理数那也就满不了需求了，我们必须又要开拓一次数域，我们引入三次根式。依次类推，我们在四次方程里同样采取了这样的方式也获得了成功。四次方程根式解法实在太过恐怖，篇幅长到难以想象，这里就不列了。可能正是由于次数每增加一次，根式解法的复杂性都要增加上百倍，所以到了五次方程这里，上帝觉得太麻烦了，干脆就不给五次方程根式解法了。呵呵，算是我的想象力吧。。。
每一次方程次数的提高，对应的都是域的扩充，如果这样的扩展能够与方程次数做到一一对应，那么我们就可以用根式来表示最后的解。于是，如果五次方程可以通过开方扩大的范围，不在五次方程根的域内，也就意味着五次方程没有求根公式。
计算机求五次方程的根近似值
鉴于人们之前获得了那么多成功的案例，自然也希望在五次方程上获得一样满意的答案。伽罗瓦却告诉我们，往往这是根本做不到的。
伽罗瓦建立的理论中，最核心的部分是把域和群对应起来，当我们研究域的问题时，可以转而研究对应的群，二者之间可以来回切换，使得这两门优美的数学语言之间等价。
群构造
前面分析了，人们可以一步一步去扩大的域的范围，那么也就是一点点改变了群的内容，随着次数的提高，我们可以想象群之间总会出现父子之间的关系，就相当于前一种群变换完全包含了后一种。假如五次方程有根式解，那么就会出现下面的正规子群链：
G1=S1←G2←G3←G4←G5，S1是一阶子群，类似于数域里的单位1.
而实际上，S5至多可以写成：G1=S1←A5←S5，，也就是说，五次方程根所在的域是不能通过根式扩展的方式得到，于是五次方程就不存在根式和加减乘除组合的解法了。
在数学上很多问题人们苦思已久却还是得不到解答的时候，有些人便不再执着于之前的野蛮方法了，他们会另辟蹊径，从另外一个角度去考虑问题。就像五次方程解法的研究历程一样，人们很久都得不到解法。不是说人们的方法有问题，而是本来这个解法就是不存在的，于是乎，人们转而开始证明不存在解法的过程中来，并最终圆满地解决了这个问题。
相对论的数学基础之一——群论
20世纪初，爱因斯坦在群论里为广义相对论找到了数学基础，怀尔斯当年为了证明费马大定理，花费了整个十八个月时间来熟悉群论的相关内容！伽罗瓦的理论是如此闪耀，即使在现代数学高度丰富的时代，也都是高深莫测的数学工具，更别说在19世纪初了，难怪这套惊世理论没有能在那个时代就发扬光大。毕竟这套理论超越那个时代太久了，为什么柯西，高斯，傅里叶都连续错过了伽罗瓦的论文，真的很有可能就是纵然以上数学大师也都是看不明白的，他们都看不明白，自然也就意识不到论文的价值。
费马大定理的终结者 怀尔斯
群也是数学上最重要的概念之一，极为抽象的表达却蕴含着无穷无尽的奥妙。人们总是能在各个领域去找到应用的场景。
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5的平方根，5的平方根是多少怎么算？
5是25的平方根吗？
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