三角函数计算器
????在数学必修四中有很多方法求一个未知角的三角函数，比如说正弦定理、余弦定理等等一系列公式。对一些奇怪的角度，需要我们花很多时间才能通过那些特殊的已知角来算出。????而后来，我们接触到了图形计算器。它可以直接算出一个任意角的三角函数值。这不禁令人感叹：因为任何一个计算机可实现的东西，就意味着是一个公式化的事情：并不需要特殊角的判断，只需要一定量的计算就可以实现。既然如此，那么求一个三角函数值是否也有相对应的公式化操作呢？? ??我们可以这么想：一天，你的好朋友站在一条笔直的赛道的起点。这时他向前跑一段任意的距离x，而在跑的过程中，他的速度是一直变化的，而你并不知道他的变化规律。你只知道，在他起跑时，他的加速度、加速度的加速度、加速度的加速度的加速度（以此类推，相当于速度的n阶导数）。现在，需要你根据这些加速度求出他在x位置的速度。????等等——这和求三角函数有什么关系？！这么说，假设你朋友瞬时速度和其位置的关系是个cos()函数，那么求出朋友在x的瞬时速度，就相当于求出cos(x)的值。只要有办法通过cos(x)在起始点x=0的n阶导数来，也就是他在起点的加速度、加速度的加速度等等，求出他他在x位置的瞬时速度，就能求出cos(x)的函数值！????那么，该怎么求呢？这就用到了麦克劳林展开（Maclaurin Series)，也是著名的泰勒展开的特殊形式。麦克劳林展开，就是把一个原本普通的非多项式函数（例如三角函数cos(x)）变成多项式形式，也就是很多东西累加的和。而这些多项式中的每一项，正巧就包含了被展开函数在x=0上的各阶导数。换句话说，只要能求出x=0上的函数的各阶导数，就能估计出原来的函数值。其展开公式如下：????? ?????????这样的话，求cos(x)函数值的方法就出现了，我们只需要求出cos(0)的一阶导、二阶导，以此类推，就能用计算机，通过上面的公式求和，来求出f(x)的值。????但是出现了一个问题，就是计算机并不太会求一个函数的导数。但是好在我们可以求啊。不妨算几阶cos(0）的导数，就能看出来规律：cos(0)的n阶导，其实就是一个1,0,-1,0的循环。于是，就可以把上面的公式化简成这个样子：????????因为乘方和阶乘都是计算机支持的操作。这样就可以通过循环来求cosx的值了。????这里我用了python来编写程序，因为其精度高。值得注意的是，如果输入要求的角度是角度制的，记得转换为弧度制。因为上述展开式是按照弧度制计算的。a = eval(input()) # 要计算的角度（角度制）pi = 3.1415926535x = a / 180 * pi # 转换为弧度制sum = 1 # 计算级数的和flag = 1 # cos麦克劳林展开的-1那一项fac = 1 # 计算阶乘pro = 1 # 计算x的2n次方for i in range(1,70): flag *= -1 # 和上一项变号 fac *= (2*i-1)*(2*i) # 上一项的阶乘乘上最近的这两项就是这一项的阶乘 pro *= x*x # 更新乘方 sum += flag * pro / fac # 更新sum值print(sum)?#?输出????????我们来随便试个角度，比如19.260817°????十分精确地计算出来了。????其实，还遗留了一个问题，就是我刚才的程序知识计算了这个展开式的前70项，而实际上n应该是趋近于无限的，也就是cos(19.260817)的值是一个无限小数。因此，程序需要保留精度。既然这样，那么该如何控制所需要保留的精度呢？????这就涉及到了下一个定理：交替级数估值定理（Alternating Series Estimation Theorem）其定理内容是：对于一个每一项都在变小的交替级数，其前n项和，与实际值的差，一定小于第n+1项的绝对值。????比如说刚才那个cos函数，我计算了前70项的和，而这个和和真正的cos(19.260817°)的差，一定小于x的140次方除以140阶乘的绝对值，这个值一定很小很小，因为19.260817转化为弧度制小于1，其140次方就更小，再除以140！这样一个巨大无比的数，其误差寥寥无几。????当然，如果只想输出一个特定的精度，比如保留四位小数，可以给程序加个特判：a = eval(input()) # 要计算的角度（角度制）pi = 3.1415926535x = a / 180 * pi # 转换为弧度制sum = 1 # 计算级数的和flag = 1 # cos麦克劳林展开的-1那一项fac = 1 # 计算阶乘pro = 1 # 计算x的2n次方for i in range(1,70): flag *= -1 # 和上一项变号 fac *= (2*i-1)*(2*i) # 上一项的阶乘乘上最近的这两项就是这一项的阶乘 pro *= x*x # 更新乘方 ai = flag * pro / fac sum += ai# 更新sum值 if ai <= 0.00001: breakprint(sum)?#?输出????好了，本期推文就到这里了。如果觉得有意思的话，别忘了点一下 在看、赞、关注，一键三连哦！
