一元二次方程解法
说明：本文节选自即将出版的【明心数学资优教程·从勾股定理到复数计算】一书中的一节。
【嘉言懿行】：数学是讲逻辑的，逻辑的核心是因果关系，任何一个“果”的出现都必须有“因”的成立。解数学题本质上就是在“因——已知条件”的基础上得出“果——问题结论”。数学解题过程就是把由“因”致“果”的逻辑链用数学语言叙述出来。
数学思维能力的形成就体现在学生在遇到问题时能够自觉的产生这样解决问题的逻辑链。如果产生不了这样的逻辑链，也就形成不了思维能力。
在平时的数学教学和学习中，在引入新知识新问题（果）时，如果不是从学生已经形成的知识结构中（因）推导出新知识进行教学，而是靠强行灌输无法从已有知识结构中导出的前置知识点来解决问题，就会破坏思维过程中逻辑链的完整，从而造成逻辑链的割裂。
作为一个教师如果不理解这一点，违背这个认知规律，那么在平时教学中就会为了追求形式上的教学效果而采取以催肥代替成长教学手段，错以肥大为强大。一言以蔽之，“瞎超前、超前瞎”是现时教学中最大的问题。最常见的体现在：
1）瞎超前：缺少“前置知识点”的铺垫，知识结构是空中楼阁；
2）超前瞎：强行灌输“前置知识点”而不考虑前置知识点能否从学生已有知识结构中导出，结果是以其昏昏，使人昭昭。
上述2点很容易造成破坏思维过程中逻辑链的完整，从而造成逻辑链的割裂，这样的学习过程不会产生有意义的学习，这样形成的数学解题能力多是机械的条件反射，只能在模仿中解决问题，没有自主思考，多是做过的题、同类题会解决，而陌生、不熟悉的问题就束手无策。不是靠原生态的体能（思维品质）而是靠吃兴奋剂（强行灌输前置知识点）产生的爆发力（思维能力），兴奋剂药效完了爆发力也就归零了。
如今的课外奥数教育缺乏一语惊醒梦中人、醍醐灌顶的启发，也无唐诗宋词那样的隽秀清雅、博大精深。
如今的课外奥数教育从骨子里渗透的都是如清朝训诂考据一样的繁琐冷经学，多是小家子气般令人讨厌的冷门偏技。
看书要看伟大的书，学数学要学好题。人的精力只有那么多，何必浪费在那些不入流的学习材料中呢！学习中耍小聪明最没意思。
文以载道，诗言志，题蕴智，好的数学题孕育着大造化，蕴藏着大机智。
词讲境界，数学题讲格局。好的数学题蕴含着数学的大格局，点开大眼界，能够让你红炉点雪，拈花悟禅，见微知著，一叶知秋而不是一叶障目。
学习观贯穿着整个数学学习的过程，如果学习观发生了错误，就是方向和原则出了问题，是磨砖成镜，同掘地看天、缘木求鱼一样，虽是苦行，但无法达到目的。
眼内有尘三界窄，心地清净尽皆春。
千江有水千江月，万里无云万里天。
愿所有的学子在数学学习中穷物究理，历事炼心，明心见性！
明心数学讲座·聪明的小学生都能掌握的一元二次方程解法
“几何代数”就是指“用几何方法解决代数问题”。
在数学的时空中，无论是古希腊的《几何原本》第2卷中用几何解代数问题的内容，还是中国古代数学家刘徽、赵爽注《九章算术·勾股章》运用几何弦图来证明代数公式，都是借助几何上面积的概念来处理相关的代数问题，是几何代数的典范。
当我们用几何方式来理解一元二次方程时，就产生了代数与几何之间完美的一一对应，这个方法就是：用几何意义来诠释二次方程式中的每一项，并用几何变换来刻画代数式的恒等变换。
例如我们来考虑一元二次方程。
i、首先考虑的值，它的几何意义是一个的正方形的面积，如下图所示：
ii、类似的，第二项的几何意义是一个的长方形面积。
进一步巧妙地把这个的长方形一分为二，表示为两个的长方形
iii、下面，我们把两个长方形和先前的正方形拼到一起，形成一个有缺口的形状，这个图形的面积就是。
上面这幅缺角图形如果补出缺的小正方形之后，我们就得到了一个完美的大正方形，
补足的这个小正方形的面积是，也就是说，大正方形的面积是，
现在，我们就把求一元二次方程几何化了：所对应的几何图形是边长为的一个正方形！
下面我们就借助上面的思路构建出“因式分解求解一元二次方程”的几何模型。
【问题1】解一元二次方程。
〖分析〗如下图所示，根据正方形与矩形的几何意义建立代数式与图形之间的对应：
i、把二次项“”看成2个边长为的正方形；
ii、把一次项“”看成7个“”的矩形；
iii、把常数“3”看成1个“”的矩形。
根据正方形与矩形的边长特征，可以把上面的图形重新组合成如下的矩形：
这意味着：，这是一个长为“”宽为“”的矩形
这就给出了代数式“”一个几何解释。
求解一元二次方程“”就转化为求的值使所构造的矩形面积为0！矩形面积为0就意味它的任意边的长度为0。
这样就将一个一元二次方程转化成了两个一元一次方程求解：
【问题2】解一元二次方程。
〖分析〗i、把看成3个边长为的正方形；
ii、为了能与正方形对齐，把看成3个的矩形和1个的矩形；
iii、根据边长的对应关系拼成下图：
此时，拼图中的右下角缺一个的矩形。
iv、注意到常数项6有两种分解式，只有能够满足把上图中的右下角缺的矩形补齐成大矩形，所以把常数项6看成是的矩形。
根据正方形与矩形的边长特征，可以把上面的图形重新组合成如下的矩形：
上述几何模型实际上给出了对代数式“”进行因式分解的几何意义！
【问题3】解一元二次方程。
〖分析〗当一元二次方程的系数变复杂——比如系数是合数时，就要兼顾到几方面数据的协调性，才能得到合适的矩形拼补图。
i、以本题为例，如果把按下列形式的图形拼接：
接下来常数项3所表示的矩形就无法与上图组合成新的长方形。
ii、考虑到与，按左下图的方式进行拼接产生的缺角矩形正好是。
由此得到的右上图对应着代数式。
由此可得：
加法运算“+”的几何意义是面积的增加，而减法运算“－”的几何意义则是面积的减少。所以当一元二次方程的系数出现负数时，在正方形与矩形拼接过程中就会出现先割（补）后补（割）的几何变换过程。
【问题4】解一元二次方程：
（1）；（2）。
〖分析〗（1）当我们把看成一个正方形，把看成3个的矩形时，我们这样来进行拼补：
i、如图1、图2所示，在边长为的正方形ABCD中，沿垂直方向切掉2个的矩形得到长方形ABFE；
ii、如图3所示，沿水平方向切掉1个的矩形BCHG，此时重叠部分恰好为的矩形CFIH对应着常数项2。
根据多退少补，得到的长方形AGIE就对应着一元二次方程。由此可得：
（2）当我们把看成一个正方形，看成3个的矩形时，这样来进行拼补
i、如图1、图2所示，在边长为的正方形ABCD中，沿垂直方向拼接2个的矩形得到长方形ABEF；
ii、为了兼顾到常数项“”所对应矩形，如图3所示，沿水平方向再拼接1个的矩形EFHG；
iii、根据多退少补，在图3中沿水平方向切割的矩形BGNM，此时重叠部分恰好为的矩形CGNP对应着常数项3。
根据多退少补，得到的长方形AMNH就对应着代数式。
由此可得：
下面介绍两个二次项系数非1的例子。
【问题5】解一元二次方程：
（1）；（2）。
〖分析〗（1）如图所示，的矩形ABCD对应着二次项；矩形CEFD对应着一次项。这样，矩形ABEF对应着。
考虑到常数项对应矩形的割补，我们这样来进行拼补：
在沿水平方向切掉2个的矩形组合成的长方形BCNM后，把这2个的矩形分别拼接到垂直方向EFHG处，此时凸出部分正好是的矩形CGPN。
根据多退少补，得到的长方形AMPH就对应着代数式。
由此可得：
（2）如图所示，当在的矩形中切掉1个的矩形①后，把矩形②、③、④水平放置如图所示位置，阴影部分矩形正好是。
图中得到的长方形ABCD就对应着代数式。
由此可得：
通过上面几个例子，我们就可以看出用因式分解求解一元二次方程时，其中十字相乘技巧背后隐藏的几何背景。当你了解到这一点后，枯燥的十字相乘图顿时就会活跃起来。
